ブルーアーカイブ／ブルアカ初心者です。APが溢れてメールボックスに溜まっていて困ってます。どうすれ

最初のうちは大体そんな感じですが、ストーリーを進めていくと「特別依頼」というのが受けられるようになります。
これからずっと必要になってくる任務です。主な用途としてはお金の回収そして育成用もレポート回収です。
それを開けるまではストーリーを進めましょう。
開けたら自分が星3クリアできるところまでやってずっと掃討ボタン押せば一気の消えます。
ある程度まではレベル上がっては増えての繰り返しですが、いずれ底は見えるので。
あとはイベント期間中なので報酬目的でイベント回したり。

ただ、注意して欲しいのが3/4から特別依頼が報酬2倍期間になり、使用APも半分になるので余計消化しなくなります。
かといって全部消費するのも勿体無いので、目的の「石+スタミナ」を回収したら2倍期間用にとっておいてもいいかもですね。後々楽になります。