測度論の演習です。
R∧1のボレル集合Eで、任意の空でない区間Iに対して
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測度論の演習です。 R∧1のボレル集合Eで、任意の空でない区間Iに対して 0
測度論の演習です。 R∧1のボレル集合Eで、任意の空でない区間Iに対して 0
(定義)
任意の閉区間J、任意のε∈(0,1)に対し、
r_n:=1-ε^{1/2^n} (∀n∈N)
とおき、
(step1)Jから同中心のr_1倍の区間を除く。
(step2)残った2個の区間それぞれから同中心のr_2倍の区間を
除く。
(step3)残った2^2個の区間それぞれから同中心のr_3倍の区間
を除く。
…
(stepn))残った2^{n-1}個の区間それぞれから同中心のr_n倍の
区間を除く。
…
という操作を無限に続けていって得られる集合をスケールεの
Jのカントール集合と呼ぶこととする。このルベーグ測度は、
m(J)(1-r_1)(1-r_2)…=m(J)Π_{n=1}^{∞}(1-r_n)=
m(J)ε∈(0,m(J))
だから、このカントール集合の測度は正であり、またJから
カントール集合を除いた隙間達の合併の測度も正である。
(補題2)
任意のδ∈(0,1)に対し、次のようなボレル集合E⊂[0,1]がと
れる。
(1)m(E)=δ
(2)[0,1]の任意の空でない部分区間Iに対し0
ありがとうございます。