最近FGO始めたものです。２部最新章まで、特定の高レアキャラがいないと詰むクエストとかありますか？

ないです。

所謂、「いたら便利」「いたら攻略がラクになる」キャラはいますが、
「このキャラがいないと勝てない」っていうのはありません。
幾らでも代用ができますよ。

強いていうなら、
今のうちに「強そうなフレンド」を捕まえておくと良いかなと思います。
1部の間であれば申請も通りやすいので、
色々な高レアを取りそろえたアカウントの人にフレンド申請を送りまくりましょう。

ないです