ゲーム関係本当に何も分からなくて不安なので、初歩的な質問ですが、どなたか教えてください。 ps…

ありがとうございます。
有線無線の違いなんとなくは知っていましたが、やはりそうですよね。
何も無い自分の部屋でやるとなったら、ルーターや線等を買うということになるのでしょうか？もし買ってどうにかなるものでしたら検討します。

基本のセットを買えば必要な物は揃ってると思います。問題はネット環境ですね。

最初に起動するとファームウェア(システム制御用ソフトウェア)のアップデートが必要かもしれません。アップデートは通常ネット経由なので、できればWi-Fiが繋がる場所に持っていってアップデートかな。
または、スマホのテザリング機能を使ってネット接続する奥の手もあります。

基本的にコネクタ経由でも使えるはずだが、サポート外の使用なので厳密には不明。
また、仮に使えてもプロジェクタのような投影をゲーム画面にするのは著しく使い勝手が悪いので微妙。
今時は実用性十分な安モニタが一万円強で買えるのだから、子供の小遣いでもちょっと貯めてこっちを買った方がマシ。

ネット環境に関しては、そもそもオンラインゲームやダウンロード版の買い物をしない限りどうでもいい。
アップデートのダウンロードに時間がかかるくらいの事はあるだろうが、本体をスタンバイ、いわゆるスリープにしておけば一晩のうちにどうにかなるだろうから、大したデメリットではない。

逆にオンラインゲーム目当ての場合は真っ当なネット環境がないと、そもそもまともに遊べない。
また、昨今では頻繁なダウンロード版割引キャンペーンもあるので、古い名作などを安く買うのにネット環境がショボいとスタンバイを使って放置してでも、一晩じゃダウンロードが終わらないとか悲惨。

出来るでしょう。

ただ、Wi-Fiでオンラインプレイってなると恐らく厳しい。
多少不格好でも、有線接続が最低必要。