Blu-rayディスクレコーダーでインターネット動画も録画出来たりするのでしょうか？

日本の法律に抵触しない範囲(個人利用)で怪しい機器など一切使わず、
YouTubeで配信されるゲームの生放送、ASMRの生放送
Twitchで配信されるゲームの生放送
アーカイブがサーバーに残らず、生放送を録画しないと2度と見れない映像をパソコンを使わずブルーレイレコーダーで記録保存したいなら….

ゲーム機PS3で生放送視聴して付属品AVケーブルで出力。そのケーブルをブルーレイレコーダーの外部入力端子へつないで録画すればいいです。
私はこの方法で2017年6月～2019年7月まで大好きだったASMRユーチューバーのライブ配信を録画してレコーダーのHDDに保存してあります。

BDレコーダーにそんな機能はありません。

まぁパソコンなどでそれをすると、犯罪行為になってしまうと思いますよ…。