『将棋ウォーズ』等のオンライン対局で切れ負けパートだと互いの残り時間を意識しますか？

します。
相手残り1分でこちらが不利だと、長引くようにして相手の切れ負けを狙います。

パートとかアルバイトとかでウォーズしていないけども、
残り時間を気にしない人はいないでしょ。