ドラゴンクエスト（ＤＱ）シリーズのキャラクターデザイン及びイラスト絵を鳥山明氏に依頼したのは一体

堀井雄二さんは依頼していません。
鳥山明さんに依頼したのは、鳥嶋和彦さんです（当時はジャンプ編集者・現白泉社会長）。
もともとゲーム好きで、さくまあきらさんを通して堀井雄二さんと知り合ったのです。
そして、当時の副編集長からコロコロに対抗してジャンプでもゲーム特集をやるよう命じられます。鳥嶋さんは堀井雄二さんと組んでファミコン神拳をスタートさせますが、ジャンプ編集者から「漫画雑誌にゲーム記事をなぜ載せる？」という反発を見越していました。
そこで、製作中のドラクエのキャラデザとして、すでにジャンプ連載中であり、自身が発掘・担当している漫画家・鳥山明さんを巻き込んだのです。

他の人も書いてるけどDr.マシリトが裏で手を回したらしい

『鳥山明 ドラゴンクエスト イラストレーションズ』の鳥山明コメント
“30年前、堀井さんは少年ジャンプのライターをしておられていて、何回かお会いしていました。その堀井さんが今度ファミコンのゲームソフトを作るから「キミ、キャラデザインを描いてよ」と当時の担当編集だった鳥嶋さんから連絡がありました。
（中略）
当時は連載だけでも忙しくて睡眠時間もロクに取れないので断ろうと思ったのですが、新しいことが大好きな鳥嶋さんにしつこく説得され、まあ、なんとなくおもしろそうだし小遣い稼ぎのつもりでやってみるか、的な軽い気持ちで引き受けることにしました。”

堀井雄二コメント
“ドラゴンクエストを立ち上げるにあたって、少年ジャンプ編集部の鳥嶋さんから「とりやまあきらさんがゲームの絵を描きたがっている」と聞いたときは、マジか！ と思って、すごく嬉しかった記憶があります。でもあとで、とりやまさんに話を聞いてみたら、そういうことではなくて（笑）、鳥嶋さんが作家に新しい刺激を与えようとして頼んだことだったのですね。（後半略）”