FGOの陳宮って単体で宝具起動すると自爆するんですか？

陳宮単体の場合は宝具が使用できなくなります。

そもそも宝具が撃てません

しません。
ゲーム中の説明にもしっかり記載がありますが、陳宮の宝具は「生贄にできる味方がフィールドに1体以上いるときのみ使用可能」です。
陳宮本人しかいない状態では宝具の使用自体が不可能です。